在20世纪六七十年代的冷战时期,美苏两个核大国都声称为了保卫自己的安全，而实行所谓核威慑战略，核军备竞赛不断升级。随着苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议，2010年4月8日,美国与俄罗斯领导人在捷克首都布拉格签署新的削减战略武器条约。根据这项新条约，美国和俄罗斯将在7年内将各自部署的战略核武器削减到不超过1550枚，并把各自的战略核武器运载工具削减到不超过700枚。

在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受到哪些因素影响。当一方采取加强防御、提高武器精准度、发展多导弹等措施时，平衡状态会发生什么。

注：核威慑表示互相确保毁灭达到双方确保安全，对方如果发动核战争对我先下手为强，再打击了我的核设施以后我还有足够的能力毁灭对方一次

模型假设

以双方的战略核导弹的存储量为，描述对方核军备的大小，假定双方采取相同的核威慑战略即确保毁灭战略：

  • 认为对方可能发起所谓的第一次核打击，即倾尽全部核导弹来攻击己方的核导弹基地

  • 己方在经受第一次核打击后，应存有足够的导弹，给对方的工业或者交通基地给予毁灭性的打击

  • 在实施核打击的时候，一个核导弹只能打击对方的一个核基地或者说是工业交通基地

  • 对这个基地的摧毁能力应该是存在一定比例的，即摧毁这个基地的可能性是常数，由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定

问题假设

设甲、乙双方的核武器数目分别是$x$和$y$。

甲方为了安全，其拥有的核武器数$x$要随乙方的弹头数$y$的增长而增长，可以假设存在增函数$g$ ，当$x >g(y)$时甲方才感到安全，$x >g(y)$称为甲方的安全线。它的右面是甲方安全区。曲线与$x$轴交点$x_0$表示，在乙方的全部核武器用完时，甲方只要有$x_0$，就能给乙方以致命性打击。

同样，$y =f(x)$是乙方安全线，上方是乙方安全区。两条安全线的交点$M$为平衡点，$x_m$与$y_m$是双方都感到安全时，分别拥有的最少的核武器的数目。

$y_0$为甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需的导弹数。

示意图

模型分析

设乙方残存率$s$：甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。

下述的基地也可以看成是导弹，即导弹未被摧毁或已被摧毁。

第一种情况

$x<y$

甲方$x$枚导弹攻击乙方$y$个基地，乙方$sx$个基地未被摧毁，$y-x$个基地未被攻击

乙方威慑值：$y_0=y-x+sx$

即：$y=y_0+(1-s)x$

第二种情况

$x=y$

甲方$x$枚导弹攻击乙方$y$个基地，乙方$sy$个基地未被摧毁，由于乙方基地和甲方导弹数一样，所有基地均被攻击

乙方威慑值：$y_0=sy$

即：$y=\frac{y_0}{s}$

第三种情况

$y<x<2y$

甲方$x$枚导弹攻击乙方$y$个基地，乙方$x-y$个基地被攻击两次，$s^2(x-y)$个基地未被摧毁，同时乙方$y-(x-y)=2y-x$个基地被攻击一次，$s(2y-x)$个基地未被摧毁

乙方威慑值：$y_0=s(2y-x)+s^2(x-y)$

即：$y=\frac{y_0}{2s-s^2}+\frac{1-s}{2-s}x$

第四种情况

$x=2y$

甲方$x$枚导弹攻击乙方$y$个基地，乙方$s^2y$个基地未被摧毁，由于乙方基地是甲方导弹数的一半，所有基地均被攻击两次

乙方威慑值：$y_0=s^2y$

即：$y=\frac{y_0}{s^2}$

分析总结

由以上四种情况分析可得：令$x=ay$，$a$为乙安全条件下甲乙双方的导弹数目之比，可得

示意图

上述问题假设中的甲乙曲线均可由$y=\frac{y_0}{s^a}$得出，即甲乙攻击防御方互换即可得出曲线。

模型解释

  1. 当甲方增加经费保护及疏散工业，交通中心等目标，则乙方打击甲方难度更大，即要增加威慑值$y_0$,故乙安全线上移使P点左上移，$x,y$均增大，双方核军备竞赛升级。

  2. 当甲方的固定核导弹基地改进为可移动发射架，则甲方的残存率$s$增大，但甲的威慑值$x_0$不变，故甲的安全线左移，$x,y$均减小,说明的单独行为，会使双方的核导弹减少。

  3. 当双方都发展多弹头导弹，每个弹头可以独立的摧毁目标，每一方的核威慑$x_0,y_0$都变小，残存率都减小，二者的综合影响使得p点出现两种情况，需要给出更多的条件进行分析。