Lanchester提出的模型非常简单，他只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱，兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加;战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次数)、射击命中率以及战争的类型(正规战、游击战）等有关。这些模型当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等因素。而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有参考价值。更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。

一般战争模型

模型假设

用$x(t)$和$y(t)$表示甲乙交战双方时刻$t$的兵力，不妨视为双方的士兵人数。

每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用$f(x,y)$和$g(x,y)$表示。
每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）与本方的兵力成正比。
每一方的增援率是给定的函数，用$u(t)$和$v(t)$表示。

模型分析

由此可以写出关于$x(t)$，$y(t)$的微分方程为

$\begin{cases} x(t)=-f(x,y)-{\alpha}x+{\mu}t, & \text{${\alpha}>0$} \\[2ex] y(t)=-g(x,y)-{\beta}y+{\nu}t, & \text{${\beta}$>0} \end{cases}$

下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率$f$、$g$的具体表示形式，并分析影响战斗结局的因素。

正规战争模型

甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的战斗减员率$f(x , y)$。
甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的监视和杀伤范围之内，一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，可以简单地设$f$与$y$成正比，即$f=ay$。$a$表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数)，称乙方的战斗有效系数。$a$可以进一步分解为$a=r_yp_y$，其中$r_y$是乙方的射击率(每个士兵单位时间的射击次数)，$p_y$是每次射击的命中率。

类似地有$g=bx$，且甲方的战斗有效系数$b=r_xp_x$，$r_x$和$p_x$是甲方的射击率和命中率。于是在这个模型中，方程可以化为

$\begin{cases} x(t)=-ay-{\alpha}x+{\mu}t, & \text{${\alpha}>0$} \\[2ex] y(t)=-bx-{\beta}y+{\nu}t, & \text{${\beta}$>0} \end{cases}$

在分析战争结局时忽略非战斗减员一项（与战斗减员相比，这项很小)，并且假设双方都没有增援。记双方的初始兵力分别是$x_0$和$y_0$，方程还可以简化为

$\begin{cases} x(t)=-ay \\[2ex] y(t)=-bx \\[2ex] x(0)=x_0, y(0)=y_0 \end{cases}$

不直接求解上述方程，而在相平面上讨论相轨线的变化规律更容易判断双方的胜负。由上述方程可得

$\frac{dy}{dx}=\frac{bx}{ay}$

其解为

$ay_2-bx_2=k$

注意到方程的初始条件，有

$k=a{y_0}^2-b{x_0}^2$

由上述式子确定的相轨线是双曲线族，如图。箭头表示随时间$t$的增加，$x(t)$、$y(t)$的变化趋势。可以看出，如果$k>0$，轨线将与$y$轴相交。这就是说存在$t_1$,使$x(t_1)=0$，$(t_1)=\sqrt{\frac{k}{a} }$当甲方兵力为零时乙方兵力为正值，表明乙方获胜，同理可知，$k<0$时甲方获胜，而当$k=0$时双方战平。

变化趋势

进一步分析某一方譬如乙方取胜的条件。由$k=a{y_0}^2-b{x_0}^2$并注意到a、b 的含义，乙方获胜的条件可表为

$\left(\frac{y_0}{x_0}\right)>\frac{b}{a}=\frac{r_xp_x}{r_yp_y}$

上式说明双方初始兵力之比 $\frac{y_0}{x_0}$以平方关系影响着战争的结局。例如若乙方兵力增加到原来的$2$倍（甲方不变)，则影响战争结局的能力增加到$4$倍。或者说,若甲方的战斗力譬如射击率$r_x$.增加到原来的$4$倍（$p_x$、$r_y$、$p_y$均不变），那么为了与此相抗衡，乙方只须将初始兵力$y_0$增加到原来的$2$倍。
由于这个原因正规战争模型称为平方律模型。

游击战争模型

双方都用游击部队作战。
甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为$sx$的这个隐蔽区域活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火，而是向这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况。这时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关，而且随着甲方兵力的增加而增加。因为在一个有限区域内，士兵越多，被杀伤的就越多。这样可以简单地假设$f=cxy$，且乙方战斗有效系数$c$可表为$cr_yp_y=r_y\frac{s{ry} } {sx}$其中$r_y$仍为射击率，而命中率$p_y$等于乙方一次射击的有效面积$s{ry}$与甲方活动面积$s_x$之比。

类似地有$g=dxy$，$d=rxp_x=r_x\frac{s{rx} }{s_y}$。于是在这个模型中方程可以化为

$\begin{cases} x(t)=-cyx-{\alpha}x+{\mu}t, & \text{${\alpha}>0$} \\[2ex] y(t)=-dxy-{\beta}y+{\nu}t, & \text{${\beta}$>0} \end{cases}$

忽略${\alpha}x$和${\beta}y$并设${\mu}={\nu}=0$，在初始条件下上式为

$\begin{cases} x(t)=-cyx \\[2ex] y(t)=-dxy \\[2ex] x(0)=x_0，y(0)=y_0 \end{cases}$

与正规战争模型中方程的解法类似，方程可以化为

$\begin{cases} xy-dx=m , & \text{(10)} \\[2ex] m=cy_0-dx_0 , & \text{(11)} \end{cases}$

(10)式子确定的相轨线是直线族，如图。像分析正规战争模型一样，可知$m>0$时乙方胜，$m<0$时甲方胜，$m=0$时战平。

游击战争模型